Periyot Bulma Soruları

GRUP VE PERİYOT BULMA FASİKÜL - 2 4. Elektron dizilişleri sırası ile 3s',3p' ve 3d' ile so- na eren X, Y ve Z atomları ile ilgili, Yarı dolu orbital sayısı 230A Grub II. Değerlik elektron sayısı Bu grup buiunur He'nin lanmakt HH. Periyot numarası özelliklerinden hangileri her üç atom için de eşit- tir? sından Gruptal larına a A) Yalnızt B) Yalnız II C) I ve II le sonla D) II ve III E) I, Il ve II B Grup B grupl atomla. son teri maktac 2B grub rid', d şeklind Ayrnıca 3B gru 5. Nőtr halde temel hal elektron dağılımı 3d° ile son- lanan bir elementin, Sonuç 1. Proton sayısı I1. Değerlik elektron sayısı II. Yarı dolu orbital sayısı + elemer terimle aşağıc niceliklerinden hangileri belirlenemez? an A) YatrızT B)IVe II C) Yalnız HI E) I, Il ve II Lantanitler Alinitter ve p tron d Prf Ya ları

Trigonometrik fonksiyonlar birer periyodik fonksiyondur ve her fonksiyon için aşağıdaki eşitlik sağlanır.

Trigonometrik fonksiyonların ve farklı dönüşümlerinin periyotları aşağıdaki formüllerle bulunabilir.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyodu

Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu \( 2\pi \) radyandır.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

Bu formüllerin mantığını şu şekilde açıklayabiliriz.

• \( a \) katsayısı fonksiyon grafiğinde dikey genişleme/daralmaya yol açar, dolayısıyla \( x \) ekseni boyunca olan tekrarlama periyoduna bir etkisi yoktur.
• \( b \) değeri fonksiyon grafiğinde dikey ötelemeye yol açar ve grafiğin şeklini değiştirmeden sadece konumunu değiştirir, dolayısıyla periyoda bir etkisi yoktur.
• \( c \) katsayısı fonksiyon grafiğinde yatay genişleme/daralmaya yol açar, dolayısıyla periyot bu katsayı ile ters orantılı şekilde değişir.
• \( d \) değeri fonksiyon grafiğinde yatay ötelemeye yol açar ve grafiğin şeklini değiştirmeden sadece konumunu değiştirir, dolayısıyla periyoda bir etkisi yoktur.
• \( n \) tek sayı olduğunda, \( y \) değerlerinin işareti değişmediği için periyotta bir değişiklik olmaz.
• \( n \) çift sayı olduğunda, fonksiyonun negatif değerleri pozitife döner ve aşağıdaki şekilde gibi grafiğin \( [0, \pi] \) ve \( [\pi, 2\pi] \) aralıkları birbirinin tekrarı olur, bunun sonucu olarak grafiğin periyodu \( \pi \) radyana iner.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyodu

Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \( \pi \) radyandır.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

Bu formüllerin mantığı hakkında yukarıda sinüs/kosinüs bölümündeki ilk 5 madde tanjant/kotanjant grafikleri için de geçerlidir.

Bu maddelere ek olarak, \( n \) değeri çift sayı olduğunda fonksiyonun negatif değerleri pozitife döner, ancak aşağıdaki şekilde gibi grafiğin \( [0, \frac{\pi}{2}] \) ve \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) aralıkları birbirinin tekrarı değil, dikey bir doğruya göre simetriği olur, bu yüzden grafiğin periyodu değişmez.

Periyodik Fonksiyonların Toplamının/Farkının Periyodu

\( f \) ve \( g \) iki periyodik fonksiyon olmak üzere, \( f \pm g \) fonksiyonunun esas periyodu, bu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una (ortak katlarının en küçüğüne) eşittir.

SORU 1:

\( f(x) = \sin(8x) + 3\cos(5x) \)

fonksiyonunun esas periyodu nedir?

Çözümü Göster

\( \sin(8x) \) fonksiyonunun esas periyodu:

\( T_1 = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \)

\( \cos(5x) \) fonksiyonunun esas periyodu:

\( T_2 = \dfrac{2\pi}{5} \)

İki fonksiyonunun toplamının esas periyodu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una eşittir.

\( T_f = EKOK(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{5}) \)

\( = \dfrac{EKOK(\pi, 2\pi)}{EBOB(4, 5)} \)

\( = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 2:

\( f(x) = 5 - 4\tan{\frac{3 - 2x}{3}} \) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) = 5 - 4\tan{\frac{3 - 2x}{3}} \) \( = 5 - 4\tan(-\frac{2}{3}x + 1) \)

\( a \cdot \tan^n(cx + d) + b\) formundaki tanjant fonksiyonunun esas periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_f = \dfrac{\pi}{\abs{c}} \)

Bu formülü verilen fonksiyona uygulayalım.

\( T_f = \dfrac{\pi}{\abs{-\frac{2}{3}}} = \dfrac{3\pi}{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 3:

\( f(x) = 6\pi - 4\cot^4(\frac{3x - 1}{m}) \)

fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) ise, \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Fonksiyon tanımını düzenleyelim.

\( f(x) = 6\pi - 4\cot^4(\frac{3}{m}x - \frac{1}{m}) \)

\( f(x) = a \cdot \cot^n(cx + d) + b \) formundaki kotanjant fonksiyonunun esas periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

\( T_f = \dfrac{\pi}{\abs{c}} \)

Bu formülü verilen fonksiyona uygulayalım.

\( T_f = \dfrac{\pi}{\abs{\frac{3}{m}}} = 2\pi \)

\( \abs{\dfrac{3}{m}} = \dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{3}{m} = \pm \dfrac{1}{2} \)

\( m = -6 \) ya da \( m = 6 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( (-6) \cdot 6 = -36 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 4:

\( f(x) = 4\sin^2(\frac{2 - x}{3}) + \sin^3(3x + 1) \)

fonksiyonunun esas periyodu nedir?

Çözümü Göster

Fonksiyon tanımını düzenleyelim.

\( f(x) = 4\sin^2(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}x) + \sin^3(3x + 1) \)

\( 4\sin^2(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}x) \) fonksiyonunun esas periyodu:

\( T_1 = \dfrac{\pi}{\abs{-\frac{1}{3}}} = 3\pi \)

\( \sin^3(3x + 1) \) fonksiyonunun esas periyodu:

\( T_2 = \dfrac{2\pi}{\abs{3}} = \dfrac{2\pi}{3} \)

İki fonksiyonunun toplamının esas periyodu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una eşittir.

\( T_f = EKOK(3\pi, \frac{2\pi}{3}) \)

\( = \dfrac{EKOK(3\pi, 2\pi)}{EBOB(1, 3)} \)

\( = \dfrac{6\pi}{1} = 6\pi \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 5:

\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,

\( \sin^2(kx) = \dfrac{7}{11} \)

denklemini sağlayan 16 tane \( x \) değeri olduğuna göre, \( k \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( \sin{x} \) fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir ve \( [0, 2\pi] \) aralığında kendini 1 kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta \( (0, 1) \) aralığındaki bir değeri 2 kez alır.

\( \sin^2{x} \) fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir ve \( [0, 2\pi] \) aralığında kendini 2 kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta \( (0, 1) \) aralığındaki bir değeri 4 kez alır.

\( \sin^2(kx) \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{\pi}{k} \)'dır ve \( [0, 2\pi] \) aralığında kendini \( 2k \) kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta \( (0, 1) \) aralığındaki bir değeri \( 4k \) kez alır.

\( 4k = 16 \)

\( k = 4 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Periyot: Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir x sayısı için f(x + T) = f(x) olarak sıfırdan farklı en az bir T sayısı varsa bu T sayısına f fonksiyonunun periyodu denir. f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan birden fazla T e R varsa bunların içindeki en küçük pozitif T sayısına, f fonksiyonun esas periyodu denir. İki fonksiyonun toplamının periyodu f nin periyodu T, g'nin periyodu T g ise f + g'nin periyodu OKEK(Tf, Tg) olur.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyodu: a, b, c, d gerçek sayılar ve a sıfırdan farklı, m pozitif tam sayı olmak üzere sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyotları, m tek tamsayısı için 2 pi bölü mutlak değer a, m çift tamsayı ise pi bölü mutlak değer a bağıntıları ile bulunur.

Örnek: f(x) eşittir sinüs eksi beş x artı üç ve g(x) eşittir kosinüs üç x eksi bir fonksiyonları veriliyor.
a) f nin  b) g nin  c) f+g nin esas periyotlarını bulunuz.
Çözüm: a) m eşitir 1 olduğu için m sayısı tektir. a ise eksi beşe eşittir. Formülde yerine yazarsak f nin periyodu 2 pi bölü beşden 72derece olarak bulunur.
b) m sayısı 1 olduğundan tek ve a sayısı da üçe eşittir. Bu ifadeleri formülde yerine yazarsak g nin periyodu 2 pi bölü 3 den 120 derece olarak bulunur.
c) f+g nin periyodu f ve g nin periyotlarının ekoklarından bulunur. ekok (72, 120) eşittir 360 derece olduğundan periyot iki pi bulunur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyotları: Bu fonksiyonlar için fonksiyonun kuvvetinin hiç bir önemi yoktur. Sadece x in önündeki sayı bizim için önemlidir. Bu sayıya a dersek periyodu pi bölü a formülünden bulabiliriz.

Soru Sor sayfası kullanılarak Trigonometri-1 konusu altında Trigonometride Periyot, Trigonometrik fonksiyonların periyodunu bulma, Periyodu okek yardımıyla bulma ile ilgili sitemize gönderilen ve cevaplanan soruları içermektedir. Bu soru tipine ait soruları ve yaptığımız detaylı çözümleri aşağıda inceleyebilirsiniz. Yardımcı olması dileğiyle, iyi çalışmalar…

1.SORU

2.SORU

3.SORU

4.SORU

5.SORU

6.SORU

Diğer Soru Tipleri için Tıklayınız.

Not: Bu sayfadaki sorular, ziyaretçilerimiz tarafından gönderilmiştir. Telif hakkını ihlal eden durumlar için lütfen iletişim sayfasından bize bunları bildiriniz. Kısa süre içerisinde sitemizden bu sorular kaldırılacaktır.

Telif: Çözümler, sitemiz tarafından hazırlanmış olup izinsiz yayınlanıp, çoğaltılması yasaktır.

f fonksiyonunda her x elemanıdır R için f (x + T) = f (x) eşitliğini sağlayan bir T reel sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir ve T reel sayısına periyod denir. sin (x + 2 pi) = sin x ve cos (x + 2 pi) = cos x olduğundan T = 2 pi olup sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu 2 pi dir. tan (x + pi) = tan x ve cot (x + pi) = cot x olduğundan T = pi olup tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu pi dir. f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere f(x) ± g (x) fonksiyonun periyodu, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının periyotlarının en küçük ortak katına eşittir.

Uyarı: a, b birer gerçek sayı, a sıfırdan farklı, n pozitif tam sayı ve f fonksiyonunun periyodu P olmak üzere, f(x) = sin üzeri n ax + b ise n tek iken periyod 2 pi bölü a, n çift iken periyod pi bölü a dır. f(x) kosinüs üzeri n ax + b ise n tek iken periyot 2 pi bölü a ve n çift iken periyod pi bölü a dır.
Uyarı: a, b tam sayı, a sıfırdan farklı, n pozitif tam sayı ve f fonksiyonun periyodu P olmak üzere tanjant veya kotanjant üzeri n ax + b ise P = pi bölü a dır.
Uyarı: secx eşittir 1 bölü cosx ve cosec x =1 bölü sinx olduğundan periyotları sin ve cos fonksiyonlarında olduğu gibi bulunur.

f fonksiyonu için,
f(x + t) = f(x) eşitliğini sağlayan en küçük T pozitif reel sayısına f fonksiyonunun esas periyodu denir.

Birden fazla trigonometrik fonksiyonun toplamının veya farkının periyodu bu fonksiyonların esas periyodlarının okek idir. Çarpım veya bölüm şeklinde verilen trigonometrik fonksiyonlar toplam veya farka
dönüştürülüp esas periyodları bulunur.

fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

f(x) = cos12x.cos4x
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

Matematik 2 LYS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön